La serie di Fibonacci

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C’era una volta un re…
Siamo in Italia, a cavallo tra il XII e il XIII secolo: la nascita e lo sviluppo, ormai affermato, dei Comuni ha portato aria di rinnovamento, uno slancio di crescita economica e culturale che non si vedeva da secoli. Nel Nord del paese, la Lega Lombarda ha da poco fatto la voce grossa contro il tentativo di restaurazione del Sacro Romano Impero, sconfiggendo Federico Barbarossa a Legnano e ottenendo il riconoscimento della loro la Pace di Costanza. Nel Meridione l’imperatore riesce invece ad affidare il trono del Regno di Sicilia al figlio Enrico VI che, con i suoi successori, darà negli anni a venire non pochi pensieri al papato. Nonostante la fine dell’indipendenza di Amalfi e Gaeta, annesse già prima della metà del XII secolo al Regno di Sicilia, questo è anche il periodo storico in cui sono attive più repubbliche marinare contemporaneamente: si tratta di Venezia, Genova, Ancona, Ragusa, Noli e Pisa. Quest’ultima vive, in particolare nella prima metà del 1200, il suo momento di gloria, seconda a nessun’altra in Italia come potenza economica. In questo ambiente ricco di movimenti, scambi e confronti, vive il nostro giovane Leonardo Pisano detto Fibonacci, fin da piccolo appassionato di matematica: figlio di un facoltoso mercante, ha modo di viaggiare molto e passare alcuni periodi in Sicilia, Algeria, Egitto, Siria, Grecia e Turchia, dove ha modo di entrare a contatto con la cultura araba che lo renderà tanto famoso. Egli infatti pubblica, prima nel 1202 e poi ancora nel 1228, il Liber abbaci, con il quale introduce in Europa la numerazione posizionale indiana (impropriamente detta araba; in realtà gli arabi, e con loro Fibonacci, hanno fatto da tramite tra la cultura indiana e l’Occidente), composta dalle nove cifre e dallo zero che oggi tutti utilizziamo.

Una serie di… conigli
Se avete già sentito parlare di questo Fibonacci, sebbene oggi sia considerato uno dei più grandi matematici del medioevo grazie al suo Liber abbaci, alla Practica geometriae (1220) e al Liber quadratorum (1225), probabilmente sarà merito di una curiosa successione numerica che prende il suo nome. Il nostro Leonardo, infatti, voleva trovare una legge matematica che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli, partendo da una coppia genitrice iniziale. Per fare questo, pose alcune condizioni: ogni coppia di conigli è fertile dopo un mese di vita, e da quel momento può dare alla luce una nuova coppia di conigli ogni mese. In questo modo, all’inizio dell’osservazione la popolazione è composta dalla prima coppia (A), non ancora fertile; dopo un mese, ci sarà ancora una sola coppia (A), che però sarà diventata fertile e potrà accoppiarsi. Darà alla luce una nuova coppia (B), così al terzo mese di osservazione si avranno due coppie, di cui una fertile (A, pronta ad accoppiarsi nuovamente) e una non fertile (B, appena nata); al quarto mese sarà nata una terza coppia (C, da A), e la seconda coppia (B) sarà fertile e pronta ad accoppiarsi. Al quinto mese avremo quindi una nuova coppia (D) nata dalla prima (A) e un’altra nuova coppia (E) nata dalla seconda (B), mentre la terza coppia (C) sarà diventata fertile, per un totale di 5 coppie, e si procede all’infinito in questo modo. Ora proviamo a contare quante coppie compongono la popolazione di conigli per ognuno dei mesi appena visti: 1, 1, 2, 3, 5. Già questi pochi primi numeri sono sufficienti per finalizzare l’intento di Leonardo, che nota subito una cosa: ciascun numero della serie è uguale alla somma dei due numeri precedenti! Quindi, la popolazione di conigli crescerà in questo modo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … e questa è la serie (o successione) di Fibonacci.

Numeri tutt’altro che casuali
Se a primo avviso questa serie di numeri sembra avere poco significato, osservandola più attentamente si possono scoprire una discreta quantità di particolarità che la rendono decisamente più affascinante. Partiamo da una piccola definizione formale, che ci aiuterà a fare meno confusione: ogni numero della serie di Fibonacci può essere indicato genericamente nella forma F_n , dove il pedice n indica la posizione progressiva del numero che si vuole indicare nella serie. Immaginiamo di voler dare un nome al numero 21: essendo l’ottavo elemento della serie, lo indicheremo con F₈ . Tutto chiaro? Allora scopriamo le proprietà più interessanti della serie di Fibonacci!

1. Il massimo comun divisore di due numeri consecutivi della serie è 1. Questo significa che essi sono primi tra loro (numeri coprìmi).

2. Dal quinto elemento della serie in poi, se F_n è un numero primo, allora anche n è un numero primo. Facciamo una prova? Prendiamo F₁₁ = 89: 89 è un numero primo (può essere diviso soltanto per se stesso o per 1), e anche 11 lo è a sua volta.

3. Se n è un divisore di m, allora anche F_n è un divisore di F_m. Provare per credere: prendiamo n = 4 ed m = 8; 4 è un divisore di 8; F₄ = 3 ed F₈ = 21; 3 è un divisore di 21.

4. Il massimo comun divisore tra due numeri della serie F_n ed F_m è il numero di Fibonacci la cui posizione è data dal massimo comun divisore di n ed m… questa è ingarbugliata, facciamo un esempio: prendiamo F₆ = 8 ed F₉ = 34; il loro massimo comun divisore sarà il numero di Fibonacci nella posizione indicata dal massimo comun divisore di n = 6 ed m = 9, ovvero 3; infatti F₃ = 2, e 2 è il massimo comun divisore di 8 e 34.

5. I numeri della serie di Fibonacci possono essere ottenuti come somma dei numeri delle diagonali del triangolo di Tartaglia… una curiosità nell’altra: il triangolo di Tartaglia è una sorta di piramide di numeri in cui, partendo dalla cima con un solo numero, ogni riga a scendere contiene un numero di più; per la sua costruzione, il numero sommitale e tutti quelli posti alle estremità delle singole righe (ovvero i numeri esterni) sono uguali ad 1, mentre tutti gli altri numeri sono dati dalla somma dei due numeri sovrastanti. A voi la prova!

6. Scorrendo la serie di Fibonacci, il rapporto tra due numeri consecutivi tende molto velocemente al numero aureo 1.61803… Non a caso, affiancando tanti quadrati aventi per lato i numeri della serie di Fibonacci, si potrà costruire il rettangolo aureo, ampiamente utilizzato come forma perfetta e armoniosa nell’architettura antica e moderna, così come in fotografia. Il rettangolo aureo così ottenuto può essere utilizzato per costruire la spirale di Fibonacci, che approssima molto bene la spirale aurea…

E qui ci fermiamo, altrimenti non la finiamo più! Ma se l’argomento vi appassiona, fatecelo sapere e saremo ben lieti di continuare ad approfondire i temi di questo curioso angolo della matematica. Restano da scoprire una montagna di correlazioni, coincidenze, applicazioni e legami tra l’astrazione dei numeri e la sorprendente e mai casuale bellezza della natura!